ფესვების განცალება


სანამ შევუდგებით განტოლებათა მიახლოებით ამოხსნას, მოდით ჯერ მოვემზადოთ ამისთვის… ახლა რაღაცას დავწერ, რას შეიძლება ჯერ გაუგებარი მოგეჩვენოთ, მაგრამ შემდგომ მასალას რომ წაიკითხავთ, მიხვდებით რატომაცაა საჭირო ფესვთა განცალება და რას ნიშნავს ის. 😉

ვთქვათ, გვაქვს ერთუცნობიანი განტოლება f(x), რომელსაც აქვს ამონახსნი (დავარქვათ მას α – ალფა). ცხადია ფუნქცია f(x) ამონახსნის წერტილას იქნება ნულის ტოლი: f(\alpha) = 0… ჩვენი მიზანია ვიპოვოთ ეს α წერტილი!

ალგებრულ განტოლებათა ამოხსნის ბევრი მეთოდი ეყრდნობა შემდეგს: თუ ჩვენ f(x) ფუნქციას ავიღებთ რაღაც [a, b] შუალედზე (ის განსაზღვრული და უწყვეტი უნდა იყოს ამ შუალედის ყველა წერტილში). ახლა, თუ a-სა და b-ს შევარჩევთ ისე, რომ ფუნქციას ექნება სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობები ამ წერტილებში, ანუ f(a) \cdot f(b) < 0

ეს თუ შევასრულეთ, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ბოლცანო-კოშის თეორემა და მისგან გამომდინარე გამოვიტანოთ დასკვნა რომ აუცილებლად არსებობს რაღაც \alpha \in (a, b), რომ f(\alpha) = 0. ავიღოთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი, რათა უფრო გასაგები გახდეს ამის არსი:

სურათიდან კიდევ ნათლად ჩანს, რომ შესაძლოა გავაფართოოდ ჩვენი დასკვნა:

თუ f(x) ფუნქცია უარყოფითია a წერტილში და დადებითია b-ში და ფუნქციის გრაფიკი უწყვეტია, მაშინ A და B წერტილებში გამავალი წირი ერთხელ მაინც გადაკვეთს 0x ღერძს… გადაკვეთის წერტილებში კი მას 0-ის ტოლი მნიშვნელობა აქვს… აბა, გავიხსენოთ, რა შემთხვევაში აქვს ჩვენს f(x) ფუნქციას ნულის ტოლი მნიშვნელობა? სწორია – ალფა მნიშვნელობებში! ამიტომაც f(\alpha_i) = 0, სადაც i = 1, 2, 3

თუ განტოლებას არ აქვს ჯერადი ფესვები(ამაზეც მალე ვისაუბრებთ) და f(x) ფუნქცია შუალედის ბოლოში იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს, მაშინ მისი გრაფიკი ამ [a, b] შუალედზე გადაკვეთს ox ღერძს კენტ რიცხვჯერ. როგორ ნაჩვენებია სურათი 1-ლზე. ახლა დავაკვირდეთ მეორე სურათს:

ამ შემთხვევაში იტყვიან რომ \alpha_1 არის მარტივი ფესვი, ხოლო \alpha_2 – ჯერადი რადგან ამ წერტილში f(x) ფუნქცია “ეხება” ox ღერძს. რომ დავუკვირდეთ, ფუნქცია გადაკვეთს ღერძს კერტ რიცხვჯერ – ერთხელ. საერთოდ ჯერადი ფესვები არსებობს ორჯერადი, სამჯერადი და ა.შ.

 ვიტყვით რომ α რიცხვი f(x) ფუქნციის k-ჯერადი ფესვია თუ f(\alpha) = 0, f'(\alpha) = 0...f^{(k-1)}(\alpha) = 0,  ხოლო f^{(k)} \neq 0

მაგალითად მესამე სურათზე გამოსახული ფუნქციის ამონახსნი α ორჯერადი ფესვია:

კიდევ ერთი მაგალითი: ფუნქციას f(x) = x^3 სამჯერადი ფესვი აქვს: α = 0. შევამოწმოთ – გავაწარმოოთ ის: f(\alpha) = 0, f'(\alpha) = 0, f''(\alpha) \neq 0. სურათზე:

ხო, თუ ფუნქცია სეგმენტზე იღებს ერთიდაიგივე მნიშვნელობებს, მაშინ მას ამ შუალედის შიგნით გააჩნია ლუწი რაოდენობა ფესვებისა ან საერთოდაც არ გააჩნია ფესვი. შეადარეთ:

და

მეექვსე სურათზე ოთხი ფესვი რატოა? იმიტომ α3 ფესვი ორჯერადია! ეს კი ნიშნავს იმას, რომ α3 თამაშობს ორი ფესვის როლს: \alpha_{4} = \alpha_{3}

კი მაგრამ, როგორ განვაცალოთ ეს წყეული ფესვები?

კარგი კთხვაა! ხშირად ამისთვის იყენებენ გრაფიკულ ხერხს: დაყოფენ ფუნქციას ორ ნაწილად, ორ უფრო მარტივ ფუნქციად. მოძებნიან მათ გადაკვეთის წერტილს… ზუსტად ეს წერტილი იქნება განტოლების ამონახსნი!

მაგალითისთვის ავიღოთ განტოლება f(x) = x^3 - x + 1 = 0 . გადავიტანოთ x+1 მარჯვენა მხარეს:

x^3 = x-1

ტოლობის მარცხენა მხარეს მდგომი გამოსახულება აღვნიშნოდ ფუნქცია f(x)-ით, ხოლო მარჯვენა — g(x)-ით:

f(x) = x^3, \hspace*{2em} g(x) = x-1

ავაგოთ თითოეულის გრაფიკი. გადაკვეთის წერტილი იქნება ამ განტოლების ამონახსნი! [a, b] სეგმენტის მიახლოებითი ზომები გამოჩნდება ნახაზიდან.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s