შუაზე გაყოფის(ბისექციის) მეთოდი


ვთქვათ გვაქვს განტოლება: f(x) = 0

მიღებული გვაქვს ისეთი [a, b] სეგმენტი, სადაც f(x) უწყვეტია და ფუნქცია სეგმენტის ბოლოში იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს:

f(a)*f(b)<0

ბოლცანო-კოშის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ამ განტოლებას გააჩნია ამონახსნი [a, b] შუალედზე. ზოგადობის შეუზღუდავად დავუშვათ, რომ ამ შუალედზე მხოლოდ ერთი ფესვია: α.

ვიზუალურად რომ კარკად დავინახოთ, გვაქვს მომზადებული სურათი. ფუნქციას მიახლოებით ექნება შემდეგი სახეებიდან ერთ-ერთი:

უნდა შეინიშნოს, რომ სულაც არ არის აუცილებელი ფუნქცია იყოს მონოტონური (ან მხოლოდ ზრდადი ან მხოლოდ კლებადი) [a, b] შუალედზე.

შუაზე გაყოფის მეთოდის პრინციპი

[a, b] სეგმენტს ვყოფთ შუაზე. ვთქვათ, C არის შუაწერტილი: c = (a+b) / 2

ვპოულობთ f(x) მნიშვნელობას c წერტილში. თუ f(c) = 0, მაშინ ცხადია, რომ α = c და გვიპოვია განტოლების ფესვი.

თუმცა, თუ f(x) \neq 0, მაშინ ვიცით, რომ ფესვი მოთავსებული იქნება ან [a, b] ანდა [b, c] შუალედზე.

ვამოწმებთ ფუქნციის მნიშვნელობის ნიშნებს ამ შუალედების ბოლოებზე:

f(c)*f(t) < 0

თუ t = a, მაშინ ფესვი მოთავსებულია [a, c] შუალედში, ხოლო თუ t = b, მაშინ ის მოთავსებულია [b, c] შუალედში.

მერე ვყოვთ ახალ მიღებულ შუალედს ორად და ვამუშავებთ ზემოთაღნიშნული ალგორითმთ და ა.შ. სანამ არ მივიღებთ ჩვენთვის დამაქმაყოფილებელი სიზუსტის პასუხს.

მათემათიკის მხარეს რომ გავუხვიოთ, ჩვენ მივიღებთ ერთმანეთში ჩალაგებულ [a_n, b_n] სეგმენტთა სიმრავლეს, რომელთ სიგრძე მიისწრაფის ნულისკენ.

სრულდება პირობები:

1. [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset [a_3, b_3] \supset \ldots
2. f(a_n)*f(b_n) < 0
3. b_n - a_n = (b_1 - a_1)/ 2^{n-1} , როცა a_1 = a და b_1 = b

თავმოყრილ სეგმენტთა პრინციპის (ბოლცანო-ვაიერშტრასის თეორემა– რუს.) თანახმად ერთმანეთში ჩალაგებულ სეგმეტთა სიმრავლეს, რომელთ სიგრძე ნულსიკენ მიისწრაფის აქვს ერთადერთი *საერთო* გადაკვეთის წერტილი.

ანუ ერთადერთი წერტილი ეკუთვნის ყველა ამ სეგმენტის თანაკვეთას… ეს კი იქნება ჩვენი განტოლების ფესვი 😉

MATLAB კოდი, თუ ვინმეს დააინტერესებს იხილეთ ieeetsu.ge-ს ფორუმზე

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s