ქორდათა მეთოდი


ისევ და ისევ გვაქვს განტოლება: f(x) = 0

ნაპოვნი გვაქვს ისეთი [a, b] სეგმენტი, სადაც f(x) უწყვეტია და ორჯერ წარმოებადია. ასევე, ფუნქცია სეგმენტის ბოლოში იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს:

f(a)*f(b)<0

 ბოლო პირობიდან გამომდინარე, განტოლებას ამ შუალედზე ერთი მაინც ამონახსნი აქვს.

თუ შევამოწმებთ და ფუნქციის წარმოებული f'(x) შუალედზე [a, b] არ იცვლის ნიშანს, მაშინ ის მონოტონურია.

ცხადია, განტოლებას ამ შუალედზე მხოლოდ ერთი ამონახსნი ექნება, რადგან f(x) მისი მონოტონურობის გამო მხოლოდ ერთხელ გადაკვეთს OX ღერძს…

ახლა, თუ შევამოწმებთ და ფუნქციის მეორე წარმოებული f”(x)>0 ამ შუალედზე დადებითია, მაშინ ფუქნცია ჩაზნექილია, ხოლო თუ კი f”(x)<0, მაშინ ის ამოზნექილია.

ეს ყველაფერი გვეხმარება მიახლოებით დავადგინოთ ფუნქციის გამოსახულება ამ შუალედზე. ეს იქნება შემდეგიდან ერთ-ერთი:

იმის მაგივრად, რომ თითოეული შემთხვევისთვის განვიხილოთ ამოხსნის მეთოდი, მოდით გავიადვილოთ ცხოვრება და გამოვიყვანოთ მხოლოდ პირველი შემთხვევისთვის, დანარჩენები კი დავიყვანოთ მასზე…

მეოთხე შემთხვევა შეგვიძლია დავიყვანოთ პირველზე, თუ განტოლებას გავამრავლებთ -1ზე;

ანალოგიურად, მესამე დაიყვანება მეორეზე განტოლების -1ზე გავამრავლებით;

მეორე კი დაიყვანება პირველზე, თუ განვიხილავთ f(-x)=0 განტოლებას.

ქორდათა მეთოდის მუშაობის პრინციპი

A და B წერტილებზე გავავლოთ წრფე. მისი გადაკვეთის წერტილი [a, b] სეგმენტთან აღვნიშნოთ x1-ით; x1-ზე აღვმართოთ მართობი.

ამ მართობისა და f(x) ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთილ წერტილი აღვნიშნოთ A1-ით. A1 და B წერტილებზე კვლავ გავატაროთ წრფე. მისი გადაკვეთის წერილი [a, b] შუალედთან აღვნიშნოთ x2-ით და ა.შ.

მტკიცდება, რომ {xk} მიმდვრობა კრებადია f(x) = 0 განტოლების ფესვისკენ.

დავწეროთ A და B წერტილებში გამავალი წრფის განტოლება:

frac{x-a}{b-a} = frac {y - f(a)} {f(b) - f(a)}

ამ წრფის 0X ღერძთან გადაკვეთა იქნება სად? სწორია, როცა y=0… ამიტომ:

x_1 = a - frac {f(a)} {f(b) - f(a)} cdot (b-a)

და ა.შ. რომ გავაგრძელოთ, მივიღებთ ზოგად რეკურენტულ ფორულას:

x_k = x_{k-1} - frac {f(x_{k-1})} {f(b) - f(x_{k-1})} cdot (b-x_{k-1})

MATLAB კოდი, თუ ვინმეს დააინტერესებს იხილეთ ieeetsu.ge-ს ფორუმზე

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s