Category Archives: რიცხვითი მეთოდები

ნიუტონის სახეშეცვლილი მეთოდი


თუ ფუქნციის წარმოებული f'(x) შუალედზე [a, b] საკმარისად მცირედ იცვლება, მაშინ შეგვიძლია დავუშვათ, რომ:

f'(x_n) approx f'(x_0)

აქედან, f(x) = 0 განტოლების α ფესვისთვის ვიღებთ მიახლოებათა მიმდევრობას:

x_{n+1} = x_n - frac {f(x_n)} {f'(x_0)},    (n = 0, 1, 2, …)

გეომეტრიულად ეს ნიშნავს იმას, რომ B_n(x_n, f(x_n)) წერტილებში გამავალ მხების მაგიერ ამ წერტილებზე გავატარებთ B0 წერტილში გამავალი მხების პარალელურ წრფეებს.
ნახაზი:

ეს ჩვენ გვათავისუფლებს ფუნქციის წარმოებულის f'(xn) მნიშვნელობის გამოთვლისაგან თითოეულ მიახლოები xn წერტილში.
ამიტომაც, ეს მეთოდი განსაკუთრებით გამოსადეგია, როცა f'(xn) რთულია.
მტკიცდება, რომ წარმოებულების f'(x) და f”(x) ნიშნების მუდმივობის შემთხვევაში xn მიახლოებათა მიმდევრობა კრებადია განტოლების ფესვისკენ.

ნიუტონის (მხებთა) მეთოდი


გვაქვს განტოლება: f(x) = 0 და მისი ფესვი არის α. მიღებული გვაქვს ისეთი [a, b] სეგმენტი, სადაც f(x) უწყვეტია და ორჯერ წარმოებადია. ასევე, ფუნქცია სეგმენტის ბოლოში იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს: f(a)cdot f(b) < 0. მაგალითისთვის (ზოგადობის შეუზღუდავად) ჩავთვალოთ, რომ f''(x)>0 როცა a le x le b და f(b)>0, ანუ:გავატაროთ f(x) ფუნქციის მხები წერტილში B_0 (x_0, f(x_0)) . B_n (x_n, f(x_n)) წერტილში სადაც n = 0, 1, 2 … გამავალი მხების განტოლება არის: y - f(x_n) = f'(x_n)(x-x_n)

Continue reading ნიუტონის (მხებთა) მეთოდი

ქორდათა მეთოდი


ისევ და ისევ გვაქვს განტოლება: f(x) = 0

ნაპოვნი გვაქვს ისეთი [a, b] სეგმენტი, სადაც f(x) უწყვეტია და ორჯერ წარმოებადია. ასევე, ფუნქცია სეგმენტის ბოლოში იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს:

f(a)*f(b)<0

 ბოლო პირობიდან გამომდინარე, განტოლებას ამ შუალედზე ერთი მაინც ამონახსნი აქვს.

თუ შევამოწმებთ და ფუნქციის წარმოებული f'(x) შუალედზე [a, b] არ იცვლის ნიშანს, მაშინ ის მონოტონურია.

ცხადია, განტოლებას ამ შუალედზე მხოლოდ ერთი ამონახსნი ექნება, რადგან f(x) მისი მონოტონურობის გამო მხოლოდ ერთხელ გადაკვეთს OX ღერძს…

Continue reading ქორდათა მეთოდი

შუაზე გაყოფის(ბისექციის) მეთოდი


ვთქვათ გვაქვს განტოლება: f(x) = 0

მიღებული გვაქვს ისეთი [a, b] სეგმენტი, სადაც f(x) უწყვეტია და ფუნქცია სეგმენტის ბოლოში იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს:

f(a)*f(b)<0

ბოლცანო-კოშის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ამ განტოლებას გააჩნია ამონახსნი [a, b] შუალედზე. ზოგადობის შეუზღუდავად დავუშვათ, რომ ამ შუალედზე მხოლოდ ერთი ფესვია: α.

ვიზუალურად რომ კარკად დავინახოთ, გვაქვს მომზადებული სურათი. ფუნქციას მიახლოებით ექნება შემდეგი სახეებიდან ერთ-ერთი:

უნდა შეინიშნოს, რომ სულაც არ არის აუცილებელი ფუნქცია იყოს მონოტონური (ან მხოლოდ ზრდადი ან მხოლოდ კლებადი) [a, b] შუალედზე.

Continue reading შუაზე გაყოფის(ბისექციის) მეთოდი

ფესვების განცალება


სანამ შევუდგებით განტოლებათა მიახლოებით ამოხსნას, მოდით ჯერ მოვემზადოთ ამისთვის… ახლა რაღაცას დავწერ, რას შეიძლება ჯერ გაუგებარი მოგეჩვენოთ, მაგრამ შემდგომ მასალას რომ წაიკითხავთ, მიხვდებით რატომაცაა საჭირო ფესვთა განცალება და რას ნიშნავს ის. 😉

ვთქვათ, გვაქვს ერთუცნობიანი განტოლება f(x), რომელსაც აქვს ამონახსნი (დავარქვათ მას α – ალფა). ცხადია ფუნქცია f(x) ამონახსნის წერტილას იქნება ნულის ტოლი: f(\alpha) = 0… ჩვენი მიზანია ვიპოვოთ ეს α წერტილი!

ალგებრულ განტოლებათა ამოხსნის ბევრი მეთოდი ეყრდნობა შემდეგს: თუ ჩვენ f(x) ფუნქციას ავიღებთ რაღაც [a, b] შუალედზე (ის განსაზღვრული და უწყვეტი უნდა იყოს ამ შუალედის ყველა წერტილში). ახლა, თუ a-სა და b-ს შევარჩევთ ისე, რომ ფუნქციას ექნება სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობები ამ წერტილებში, ანუ f(a) \cdot f(b) < 0

ეს თუ შევასრულეთ, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ბოლცანო-კოშის თეორემა და მისგან გამომდინარე გამოვიტანოთ დასკვნა რომ აუცილებლად არსებობს რაღაც \alpha \in (a, b), რომ f(\alpha) = 0. ავიღოთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი, რათა უფრო გასაგები გახდეს ამის არსი:

სურათიდან კიდევ ნათლად ჩანს, რომ შესაძლოა გავაფართოოდ ჩვენი დასკვნა:

Continue reading ფესვების განცალება